Uma série de potência pode ser dada de acordo com \(\textstyle \sum_{n=0}^∞ \large{n.x^n \over 5^n}\). Calcule o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) a série de potência é converge

Gabarito

A

Comentário do professor

Considere a série \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n x^n}{5^n}\). Pelo critério de D'Alembert, seja \(a_n=\frac{n x^n}{5^n}\) e calcule

\(\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)x^{n+1}/5^{n+1}}{n x^n/5^n}\right|=\left|\frac{x}{5}\right|.\)

Para convergência é preciso \(L<1\), isto é \(\left|\frac{x}{5}\right|<1\), logo \(|x|<5\), ou seja, o conjunto de convergência é \((-5,5)\).

Nos extremos, para \(x=5\) a série vira \(\sum n\) e para \(x=-5\) vira \(\sum n(-1)^n\); em ambos os casos os termos não tendem a zero, portanto divergem.

Conclui-se que a série converge apenas no intervalo aberto \((-5,5)\).