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Questão FC262182

Considere que tenhamos uma equação diferencial na forma dada como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. As funções podem ser escritas como M(x,y) = f(x)g(y) e N(x,y) = F(x)G(y). A equação M(x,y

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2019

Considere que tenhamos uma equação diferencial na forma dada como M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. As funções podem ser escritas como M(x,y) = f(x)g(y) e N(x,y) = F(x)G(y). A equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 pode ser considerada

  1. uma equação de Riccati.
  2. uma equação diferencial separável.
  3. uma equação diferencial não-separável.
  4. uma equação de Bernoulli de ordem superior.
  5. uma equação diferencial de segunda ordem.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Partindo de \(M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\) com \(M=f(x)g(y)\) e \(N=F(x)G(y)\), obtemos \(f(x)g(y)\,dx+F(x)G(y)\,dy=0\).

Reorganizando: \(f(x)g(y)\,dx=-F(x)G(y)\,dy\). Dividindo por \(F(x)g(y)\) (assumindo \(F\neq0\) e \(g\neq0\)) resulta \(\dfrac{f(x)}{F(x)}\,dx=-\dfrac{G(y)}{g(y)}\,dy\).

Observe que agora um lado depende somente de \(x\) e o outro somente de \(y\): essa é a característica de uma equação separável.

Para resolver basta integrar cada lado: \(\int \dfrac{f(x)}{F(x)}\,dx = -\int \dfrac{G(y)}{g(y)}\,dy + C\), obtendo-se a solução implícita em termos de uma constante de integração.

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