Considere um cilindro oco de volume V. A razão entre a área da base e a área da superfície lateral, de modo que a quantidade de material usado para produzi-lo seja o mínimo possíve

Gabarito

A

Comentário do professor

Sejam \(r\) e \(h\) o raio e a altura do cilindro. As áreas são: área da base \(A_b=\pi r^2\) e área lateral \(A_l=2\pi r h\).

O material total usado (duas bases + lateral) é \(M=2\pi r^2+2\pi r h\). Como o volume é \(V=\pi r^2 h\), isolamos \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\) e substituímos em \(M\):

\(M(r)=2\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\).

Derivando e igualando a zero: \(M'(r)=4\pi r-\dfrac{2V}{r^2}=0\Rightarrow 4\pi r^3-2V=0\), logo \(r^3=\dfrac{V}{2\pi}\).

Usando \(V=\pi r^2 h\) obtemos \(r=\dfrac{h}{2}\). Portanto \(\dfrac{A_b}{A_l}=\dfrac{\pi r^2}{2\pi r h}=\dfrac{r}{2h}=\dfrac{1/2}{2}=\dfrac{1}{4}\).

Assim, a razão que minimiza o material é 1/4.