Seja a função \(x=x(t)\), \(t \epsilon R\), , tal que \({\large{d^2x \over dt^2}}=-Aw^2 \cos (wt)\), em que A e w são constantes. A função \(x(t)\) vale:

Gabarito

B

Comentário do professor

Partimos de \( \dfrac{d^2x}{dt^2}=-Aw^2\cos(wt) \). Para obter \(x(t)\) integramos duas vezes em \(t\).

Na primeira integração, use a substituição \(u=wt\) ou aplique a regra da cadeia: \(\int -Aw^2\cos(wt)\,dt = -Aw^2\cdot\frac{1}{w}\sin(wt)+c_1 = -Aw\sin(wt)+c_1\). Aqui \(c_1\) é a constante de integração.

Integramos novamente: \(\int(-Aw\sin(wt)+c_1)\,dt = -Aw\int\sin(wt)\,dt + c_1t + c_2\). Calculando a integral trigonométrica obtemos \(-Aw\cdot\left(-\frac{1}{w}\cos(wt)\right) = A\cos(wt)\).

Assim a solução geral é \(x(t)=c_2+c_1t+A\cos(wt)\), com \(c_1,c_2\) constantes arbitrárias que representam as condições iniciais (velocidade e posição).