Calcule a função que seja solução da equação \((x^2-2xy)dx+(3y-x^2)dy=0\), considerando a condição inicial \(y(1)=0\).

Gabarito

A

Comentário do professor

Identificamos \(M(x,y)=x^2-2xy\) e \(N(x,y)=3y-x^2\). Como \(\partial M/\partial y=-2x=\partial N/\partial x\), a equação é exata e existe uma função \(F(x,y)\) com \(\partial F/\partial x=M\) e \(\partial F/\partial y=N\).

Integramos \(M\) em \(x\): \(F(x,y)=\int (x^2-2xy)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-x^2y+g(y)\).

Diferenciando em \(y\): \(\partial F/\partial y=-x^2+g'(y)\). Igualando a \(N\) obtém-se \( -x^2+g'(y)=3y-x^2\), logo \(g'(y)=3y\) e \(g(y)=\dfrac{3y^2}{2}+C\).

Assim a solução implícita é \(\dfrac{x^3}{3}-x^2y+\dfrac{3y^2}{2}=C\). Pela condição inicial \(y(1)=0\) vem \(C=\dfrac{1}{3}\).

Multiplicando por 3 para simplificar, obtemos \(x^3-3x^2y+\dfrac{9y^2}{2}=1\), que é a solução desejada.