Determine a derivada direcional de \(f(x,y)=x^2y+\sqrt y\) no ponto (2,1) na direção do vetor \(\vec{a}=(5,-2)\).

Gabarito

A

Comentário do professor

A derivada direcional de \(f\) em \(P=(2,1)\) na direção de \(\vec a\) é dada por \(\nabla f(P)\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}\).

Calcule o gradiente: \(f(x,y)=x^2y+\sqrt y\) implica \(\partial_x f=2xy\) e \(\partial_y f=x^2+\dfrac{1}{2\sqrt y}\). Assim, \(\nabla f(2,1)=(4,\tfrac{9}{2})\).

O vetor unitário na direção de \(\vec a=(5,-2)\) é \(\dfrac{(5,-2)}{\sqrt{5^2+(-2)^2}}=\dfrac{(5,-2)}{\sqrt{29}}\).

Fazendo o produto escalar: \(\nabla f(2,1)\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}=\frac{(4,9/2)\cdot(5,-2)}{\sqrt{29}}=\frac{20-9}{\sqrt{29}}=\frac{11}{\sqrt{29}}.\)