Calcule o valor de \(\int \int_R(3x+4y^2)dA\), em que R é metade da circunferência limitada por dois círculos concêntricos de raio inferior igual a 1 e raio superior igual a 2.

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Usamos coordenadas polares porque \(R\) é um anel centrado na origem. Como é metade da circunferência, temos \(1\le r\le2\) e \(0\le\theta\le\pi\).

Pela troca, \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\) e o Jacobiano é \(dA=r\,dr\,d\theta\). A integranda fica \(3x+4y^2=3r\cos\theta+4r^2\sin^2\theta\), e o integrando total é \((3r\cos\theta+4r^2\sin^2\theta)r\).

Calculamos a integral em \(r\): \(\int_1^2(3r^2\cos\theta+4r^3\sin^2\theta)dr = \bigl(7\cos\theta+15\sin^2\theta\bigr)\).

Agora em \(\theta\): \(\int_0^\pi(7\cos\theta+15\sin^2\theta)d\theta = 7\int_0^\pi\cos\theta\,d\theta +15\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta.\)

A primeira integral é 0; a segunda usa \(\sin^2\theta=\tfrac12-\tfrac12\cos2\theta\), dando \(\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=\pi/2\). Assim o valor é \(15\cdot\pi/2\).

Resultado: \(\displaystyle \frac{15\pi}{2}\).