Dados os planos \(x+2y-2z+1=0\) e \(2x+4y-4z+4=0\), calcule a distância entre eles para um ponto (1,1,2) situado no primeiro plano.

Gabarito

A

Comentário do professor

A solução usa que o ponto \(P(1,1,2)\) pertence ao primeiro plano, portanto a distância entre os planos é a distância de \(P\) ao segundo plano.

Aplicamos a fórmula da distância ponto‑plano: \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\), onde \((a,b,c)\) é o vetor normal do plano \(ax+by+cz+d=0\).

Para \(2x+4y-4z+4=0\) temos \(a=2,b=4,c=-4,d=4\). Substituindo em \(P\): numerador \(=|2\cdot1+4\cdot1-4\cdot2+4|=|2|=2\).

Denominador \(=\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6\). Assim \(d=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\) (u.c.).