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Questão FC262194

Sejam f, g: \(\mathbb{R\rightarrow R}\) duas funções diferenciáveis num mesmo A, com \(\mathsf{f(x)>0}\) para todo \(\mathsf{x\in A}\). Assim, considere a seguinte função: y = f(x)

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2019

Sejam f, g:  \(\mathbb{R\rightarrow R}\)  duas funções diferenciáveis num mesmo A, com  \(\mathsf{f(x)>0}\)  para todo  \(\mathsf{x\in A}\).  Assim, considere a seguinte função:

 

y = f(x)g(x) = eg(x)lnf(x)

 

Utilizando as técnicas de derivação, em especial a regra da cadeia, calcule a derivada da seguinte função y = xsen(5x).

  1. y′ = xsen(5x). (5. cos(5x) . ln x + sen(5x). \(\mathsf{\large{1\over x}}\) )
  2. y′ = xsen(5x). (cos(5x) . ln x + sen(5x))
  3. y′ = sen(5x). (cos(5x) . ln x + sen(5x))
  4. y′ = sen(5x). (cos(5x) + sen(5x). \(\mathsf{\large{1\over x}}\) )
  5. y′ = sen(5x). (cos(5x) + sen(5x))
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Gabarito

A

Comentário do professor

Começamos reescrevendo \(y=x^{\sen(5x)}\) como \(y=e^{\sen(5x)\ln x}\), válida para \(x>0\) (pois \(\ln x\) existe). Domínio compatível com a hipótese \(f(x)>0\).

Derivando exponencial, \(y'=e^{\sen(5x)\ln x}\cdot(\sen(5x)\ln x)'\). Aqui aplicamos a regra do produto ao termo \(\sen(5x)\ln x\).

Temos \((\sen(5x)\ln x)'=(\sen(5x))'\ln x+\sen(5x)(\ln x)'.

Pela regra da cadeia, \((\sen(5x))'=\cos(5x)\cdot5\). E \((\ln x)'=1/x\).

Substituindo: \(y'=e^{\sen(5x)\ln x}\left[5\cos(5x)\ln x+\sen(5x)\cdot\frac{1}{x}\right].

Voltando à forma original: \(e^{\sen(5x)\ln x}=x^{\sen(5x)}\), logo

Resposta: \(y'=x^{\sen(5x)}\left(5\cos(5x)\ln x+\frac{\sen(5x)}{x}\right)\).

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