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Questão FC262195

Seja f uma função que f(−x) = −f(x) para todo ponto x pertencente ao seu domínio. Considerando \(\mathsf{r>0}\), calcule a seguinte integral: \(\mathsf{\int\limits^{r}_{-r}f(x)[sen

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2019

Seja f uma função que f(−x) = −f(x) para todo ponto x pertencente ao seu domínio. Considerando  \(\mathsf{r>0}\), calcule a seguinte integral:

 

\(\mathsf{\int\limits^{r}_{-r}f(x)[sen(x)]^2dx}\)

  1. \(\mathsf{\int_{-r}^{r}f(x)[sen(x)]^2dx=-7}\)
  2. \(\mathsf{\int_{-r}^{r}f(x)[sen(x)]^2dx=-5}\)
  3. \(\mathsf{\int_{-r}^{r}f(x)[sen(x)]^2dx=-1}\)
  4. \(\mathsf{\int_{-r}^{r}f(x)[sen(x)]^2dx=0}\)
  5. \(\mathsf{\int_{-r}^{r}f(x)[sen(x)]^2dx=1}\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

Seja \(g(x)=f(x)\,\sin^2(x)\). Como \(f(-x)=-f(x)\), \(f\) é ímpar. A função \(\sin(x)\) é ímpar, portanto \(\sin^2(x)\) é par, pois \(\sin^2(-x)=\sin^2(x)\).

Então, avaliando \(g\) em \(-x\): \(g(-x)=f(-x)\sin^2(-x)=(-f(x))\sin^2(x)=-f(x)\sin^2(x)=-g(x)\). Logo, \(g\) é ímpar.

A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, pois as áreas positiva e negativa se cancelam. Assim, \(\displaystyle\int_{-r}^{r}f(x)\sin^2(x)\,dx=0\).

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