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Questão FC262197

Se f: \(\mathbb{R\rightarrow R}\) for uma função integrável em \(\mathrm{[a,b]}\) e se F for uma primitiva de f em \(\mathrm{[a,b]}\), então \(\mathsf{\int\limits^{b}_{a}~f(x)dx=F(

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2019

Se f:  \(\mathbb{R\rightarrow R}\)  for uma função integrável em \(\mathrm{[a,b]}\) e se F for uma primitiva de f em \(\mathrm{[a,b]}\), então

 

\(\mathsf{\int\limits^{b}_{a}~f(x)dx=F(b)-F(a)}\)

 

Utilizando os métodos e técnicas de integração e sendo \(\mathsf{A=\int_{0}^{\pi/8}sen(2x)dx}\), calcule \(\mathsf{E=A+{\large\sqrt{2}\over4}}\) .

  1. \(\mathrm{E=-\large{1\over2}}\)

  2. \(\mathrm{E=-\large{1\over4}}\)

  3. \(\mathrm{E=0}\)

  4. \(\mathrm{E=\large{1\over4}}\)

  5. \(\mathrm{E=\large{1\over2}}\)

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Errado

Comentário do professor

Substituição: faça \(u=2x\), então \(du=2\,dx\) e \(dx=\tfrac{1}{2}du\). Os limites mudam: \(x=0\mapsto u=0\) e \(x=\tfrac{\pi}{8}\mapsto u=\tfrac{\pi}{4}\).

Assim \(A=\displaystyle\int_{0}^{\pi/8}\sin(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4}\sin u\,du\).
Calculando a primitiva: \(\tfrac{1}{2}[-\cos u]_0^{\pi/4}=\tfrac{1}{2}\big(-\cos\tfrac{\pi}{4}+\cos0\big)\).

Substituindo valores: \(\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}\) e \(\cos0=1\), então \(A=\tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{\sqrt2}{2}+1\big)=\tfrac{-\sqrt2+2}{4}.\)

Resultado: \(E=A+\tfrac{\sqrt2}{4}=\tfrac{-\sqrt2+2}{4}+\tfrac{\sqrt2}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.\)

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