Um marceneiro deseja obter um bloco cilíndrico de madeira de forma que a sua área total tenha 24π cm 2. O maior volume que esse bloco pode ter é:

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja o raio \(R\) e a altura \(H\). A área total do cilindro é \(A=2\pi R^2+2\pi R H\). Como \(A=24\pi\), temos \(12=R^2+RH\), logo \(H=\frac{12-R^2}{R}\).

A volume é \(V=\pi R^2H\). Substituindo \(H\): \(V=\pi R^2\cdot\frac{12-R^2}{R}=\pi R(12-R^2)=12\pi R-\pi R^3\).

Para achar o máximo, derivamos: \(\frac{dV}{dR}=12\pi-3\pi R^2\). Igualando a zero: \(12\pi-3\pi R^2=0\Rightarrow R^2=4\). Tomamos \(R=2\) (raio positivo; \(R=-2\) é descartado). A segunda derivada \(\frac{d^2V}{dR^2}=-6\pi R\) em \(R=2\) é negativa, confirmando máximo.

Substituindo \(R=2\): \(V=12\pi\cdot2-\pi\cdot2^3=24\pi-8\pi=16\pi\) cm³. Portanto, 16π cm³ é o volume máximo (alternativa B).