A aceleração de uma partícula que se move no espaço tridimensional é \(\vec{a}=2t_ { \hat{i}}+ 5t_{ \hat{j}}+3t_{ \hat{k}}\), em que a aceleração está em metros por segundo ao quad

Gabarito

D

Comentário do professor

A aceleração é \(\vec a(t)=2t\hat i+5t\hat j+3t\hat k\). Integrando em relação a \(t\) obtemos a velocidade: integração de \(t\) dá \(t^2/2\), portanto \(\vec v(t)=\vec v_0+\frac{t^2}{2}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)\). Com \(\vec v_0=8\hat i+12\hat j+1\hat k\) resulta \(\vec v(t)=(8+t^2)\hat i+(12+\tfrac{5t^2}{2})\hat j+(1+\tfrac{3t^2}{2})\hat k\).

Agora integramos \(\vec v(t)\) para obter a posição: \(\vec r(t)=\vec r_0+\int_0^t\vec v(t)\,dt\). Usando \(\vec r_0=3\hat i+8\hat j\) obtemos as componentes
\(\hat i:3+8t+\tfrac{t^3}{3}\), \(\hat j:8+12t+\tfrac{5t^3}{6}\), \(\hat k:t+\tfrac{t^3}{2}\).

Substituindo \(t=5\) s: \(\vec r(5)=\left(3+40+\tfrac{125}{3}\right)\hat i+\left(8+60+\tfrac{625}{6}\right)\hat j+\left(5+\tfrac{125}{2}\right)\hat k\), que fornece aproximadamente 84,66\(\hat i\)+172,16\(\hat j\)+67,5\(\hat k\), conforme indicado.