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Questão FC282746

Em uma feira de brinquedos havia um brinquedo de corrida de automóveis, em que dois carros (A e B) percorriam duas pistas circulares concêntricas em Movimento Circular Uniforme (MC

Cinemática

IDECAN · 2017

Em uma feira de brinquedos havia um brinquedo de corrida de automóveis, em que dois carros (A e B) percorriam duas pistas circulares concêntricas em Movimento Circular Uniforme (MCU) tendo a pista do carro (A) mais rápido 60 cm e a do mais lento (B) 30 cm. Os carros passam um pelo outro a cada 30 segundos, quando se movem no mesmo sentido e a cada 10 segundos, quando se movem em sentidos opostos. Para cada um dos carros a velocidade angular, o período e a velocidade escalar são, respectivamente:

  1. ω A = 2 π/15 rad/s; T A = 15 s; V A = 0,08 π m/s. ω B = π/15 rad/s; T B = 30 s; V B = 0,02 π m/s.

  2. ω A = π/15 rad/s; T A = 30 s; V A = 0,02 π m/s. ω B = 2 π/15 rad/s; T B = 15 s; V B = 0,08 π m/s.

  3. ω A = 7 π/15 rad/s; T A = 80/7 s; V A = 0,05 π m/s. ω B = 9 π/15 rad/s; T B = 80/3 s; V B = 0,04 π m/s.

  4. ω A = 3 π/15 rad/min; T A = 15 min; V A = 0,07 m/min. ω B = 4 π/15 rad/min; T B = 30 min; V B = 0,01 m/min.

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Gabarito

A

Comentário do professor

Para determinar as grandezas, usamos o encontro dos carros como deslocamento angular de uma volta: \(2\pi\) rad. No mesmo sentido: velocidade relativa \( \Rightarrow 2\pi=(\omega_A-\omega_B)\cdot 30\). Em sentidos opostos: velocidade relativa \( \Rightarrow 2\pi=(\omega_A+\omega_B)\cdot 10\).

Somando e subtraindo essas equações: \( (\omega_A+\omega_B)+(\omega_A-\omega_B)=\tfrac{2\pi}{10}+\tfrac{2\pi}{30}\Rightarrow 2\omega_A=\tfrac{4\pi}{15}\), daí \(\omega_A=\tfrac{2\pi}{15}\) rad/s. Similarmente \(\omega_B=\tfrac{\pi}{15}\) rad/s.

O período é \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\): \(T_A=\dfrac{2\pi}{2\pi/15}=15\) s e \(T_B=\dfrac{2\pi}{\pi/15}=30\) s.

As pistas têm raios 60 cm e 30 cm (0,6 m e 0,3 m). A velocidade escalar é \(v=\omega r\): \(v_A=(2\pi/15)\cdot0{,}6=0{,}08\pi\ \mathrm{m/s}\) e \(v_B=(\pi/15)\cdot0{,}3=0{,}02\pi\ \mathrm{m/s}\).

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