Uma espaçonave possui seu movimento em órbita com a Terra fazendo um trajeto perfeitamente circular de raio R com uma velocidade igual a v. Essa espaçonave possui um canhão apontad

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Ao disparar o projétil radialmente para baixo com velocidade \(v/2\), ele mantém a componente tangencial inicial \(v\). A velocidade resultante no ponto de disparo é

\(u=\sqrt{v^2+(v/2)^2}=\sqrt{\tfrac{5}{4}v^2}\), com \(v^2=\tfrac{GM}{R}\).

Na nova órbita elíptica, aplicamos a conservação do momento angular entre o ponto de disparo e o apogeu (onde a velocidade é perpendicular ao raio):

\(uR\sin\alpha=u'R'\Rightarrow u'=\frac{R}{R'}v\), pois \(\sin\alpha=v/u\).

Aplicando a conservação da energia entre os mesmos pontos:

\(-\dfrac{GM}{R'}+\dfrac{u'^2}{2}=-\dfrac{GM}{R}+\dfrac{u^2}{2}\).

Substituindo \(u^2=\tfrac{5GM}{4R}\) e \(u'=\dfrac{R}{R'}v\) (com \(v^2=GM/R\)) e resolvendo, obtém‑se a equação quadrática cuja solução física é

\(R'=2R\). Portanto, a distância máxima do projétil ao centro da Terra é \(2R\).