Calcule a energia potencial gravitacional de um sistema formado por oito partículas de massa igual a m postas de forma fixa em um cubo de lado L.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A energia potencial entre dois pontos de massa m separados por distância d é \(U=-G\frac{m^2}{d}\).

Num cubo com as 8 massas nos vértices contamos todos os pares distintos: \(\binom{8}{2}=28\) pares. Essas distâncias dividem‑se em três tipos:

Arestas: 12 pares à distância \(L\).
Diagonais de face: 12 pares à distância \(\sqrt{2}L\).
Diagonais do cubo: 4 pares à distância \(\sqrt{3}L\).

Somando as contribuições: \(U_{tot}=-Gm^2\left(\frac{12}{L}+\frac{12}{\sqrt{2}L}+\frac{4}{\sqrt{3}L}\right)\).

Fatorando e simplificando \(12/\sqrt{2}=6\sqrt{2}\), obtemos \(U_{tot}=-\frac{Gm^2}{L}\left(12+6\sqrt{2}+\frac{4}{\sqrt{3}}\right)\), que é a alternativa indicada.