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Questão FC282801

Qual seria a posição do centro de massa dessa geometria?

Dinâmica

IDECAN · 2019

A figura abaixo mostra um corredor que durante todo seu comprimento é formado por arcos com formato de um semicírculo na sua parte superior. Formas circulares como esta são encontradas em algumas obras mais antigas.

 

 

Observe a figura baixa que representa apenas a parte semicircular ao qual deve ser calculado a posição do centro de massa.

 

 

Qual seria a posição do centro de massa dessa geometria?

  1. \(\large{2R \over \pi}\)
  2. \(\large{ R \over \pi}\)
  3. \(\large{ 2 M \over \pi}\)
  4. \(\large{ R \over 2}\)
  5. \(\large{ R \over 3}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Pela simetria do semicírculo, o centro de massa está sobre o eixo vertical que passa pelo centro do círculo; basta calcular sua coordenada \(y_{CM}\).

Adote-se a densidade linear constante \(\sigma\). Como o comprimento do arco é \(\pi R\), temos \(\sigma=\dfrac{M}{\pi R}\). Considere um elemento de ângulo \(d\theta\) cujo comprimento é \(R\,d\theta\), então \(dm=\sigma R\,d\theta=\dfrac{M}{\pi}\,d\theta\).

Posição vertical do elemento: \(y=R\sin\theta\) (com \(\theta\) variando de \(0\) a \(\pi\)). Assim

\(y_{CM}=\dfrac{1}{M}\int_0^{\pi} y\,dm=\dfrac{1}{M}\int_0^{\pi}R\sin\theta\cdot\dfrac{M}{\pi}\,d\theta=\dfrac{R}{\pi}\int_0^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\dfrac{2R}{\pi}\).

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