Questão FC311616
É bastante frequente alunos dos anos finais do Ensino Fundamental acreditarem que se x ≤ y, necessariamente x² ≤ y 2, para quaisquer números racionais x e y. Todavia essa afirmação
Conjuntos
VUNESP · 2016
É bastante frequente alunos dos anos finais do Ensino Fundamental acreditarem que se x ≤ y, necessariamente x² ≤ y 2, para quaisquer números racionais x e y. Todavia essa afirmação não é correta. Ela é necessariamente verdadeira para quaisquer x e y pertencentes ao conjunto dos números
- inteiros.
- racionais.
- irracionais.
- racionais não positivos.
- racionais não negativos.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação é correta para o conjunto dos racionais não negativos.
De fato, se \(0 \le x \le y\) então \(y-x \ge 0\) e \(y+x \ge 0\). Assim
\(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\ge 0\),
o que implica \(x^2\le y^2\). Esse cálculo mostra que a função \(f(t)=t^2\) é monótona não decrescente em números não negativos, razão pela qual a ordem é preservada ao elevar ao quadrado.
Como os racionais não negativos têm as mesmas propriedades de ordem e operações, a conclusão vale também para esse conjunto.
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