Analise as afirmações seguintes: I. o número 0,50500500050000500000… é um número irracional; II. o número \(\large {2 \over 17}\)é um número irracional; III. o número 0,00375757575

Gabarito

Certo

Comentário do professor

I. O número 0,50500500050000500000… é irracional. Observando os dígitos, aparece sempre um algarismo 5 seguido de um bloco de zeros que cresce indefinidamente (um zero, depois dois, depois três, etc.). Não existe um bloco finito que se repita continuamente a partir de certo ponto, ou seja, a expansão é não periódica. Como toda dízima decimal não periódica representa um número irracional, concluímos que esse número é irracional.

III. O número 0,00375757575… é racional. Após os três primeiros decimais aparece a repetição infinita do bloco "75", isto é, é uma dízima periódica. Mostração algébrica: seja \(x=0{,}003757575\ldots\). Então \(1000x=3{,}757575\ldots\) e \(100000x=375{,}757575\ldots\). Subtraindo, \(100000x-1000x=372\), logo \(99000x=372\) e \(x=\dfrac{372}{99000}=\dfrac{31}{8250}\), prova de que é racional.