Questão FC311621
Suponha \(m\) e \(n\) números reais maiores que zero. Nomeie de T a área da região plana limitada por um triângulo equilátero de lados medindo \(m\) unidades e de \(Q\) a área da r
Conjuntos
VUNESP · 2011
Suponha \(m\) e \(n\) números reais maiores que zero. Nomeie de T a área da região plana limitada por um triângulo equilátero de lados medindo \(m\) unidades e de \(Q\) a área da região plana limitada por um quadrado de diagonais medindo n unidades. Para que \(T\) seja equivalente a \(Q\), é necessário
- \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2\sqrt{2}}{2}\)
- \(\frac{m^2\sqrt{2}}{4}=\frac{n^2\sqrt{3}}{2}\)
- \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2}{2}\)
- \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2}{4}\)
- \(m^2\sqrt{3}=n^2\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Área do triângulo equilátero: para lado \(m\) a área é \(T=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2\), fórmula clássica obtida a partir da altura \(m\sqrt{3}/2\).
Área do quadrado: se a diagonal mede \(n\), o lado vale \(s=\frac{n}{\sqrt{2}}\) e a área é \(Q=s^2=\frac{n^2}{2}\).
Equivalência: exigir que as duas áreas coincidam leva a igualar as expressões: \(\frac{\sqrt{3}}{4}m^2=\frac{n^2}{2}\), que é exatamente a alternativa correta.
Essa igualdade é a condição necessária e suficiente entre \(m\) e \(n\) para que o triângulo e o quadrado tenham a mesma área; isolando \(m\) obtém-se \(m=n\sqrt{\tfrac{2}{\sqrt{3}}}\).
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