É bastante frequente alunos dos anos finais do Ensino Fundamental acreditarem que se x ≤ y, necessariamente x² ≤ y 2, para quaisquer números racionais x e y. Todavia essa afirmação

Gabarito

Errado

Comentário do professor

A afirmação é correta quando \(x\) e \(y\) pertencem ao conjunto dos números racionais não negativos. Isso ocorre porque, nesse conjunto, a operação de elevar ao quadrado é monótona crescente.

De fato, suponha \(0 \le x \le y\). Então \(y-x \ge 0\) e \(y+x \ge 0\). Multiplicando esses termos obtém-se

\(y^2-x^2=(y-x)(y+x)\ge 0\),

logo \(x^2 \le y^2\). Assim, sempre que \(x\) e \(y\) são racionais não negativos e \(x\le y\), tem-se \(x^2\le y^2\).

Exemplo: \(x=\tfrac{1}{2},\;y=\tfrac{3}{2}\) dá \(\tfrac{1}{4}\le\tfrac{9}{4}\), confirmando a propriedade.