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Questão FC312215

Suponha \(m\) e \(n\) números reais maiores que zero. Nomeie de T a área da região plana limitada por um triângulo equilátero de lados medindo \(m\) unidades e de \(Q\) a área da r

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VUNESP · 2011

Suponha \(m\) e \(n\) números reais maiores que zero. Nomeie de T a área da região plana limitada por um triângulo equilátero de lados medindo \(m\) unidades e de \(Q\) a área da região plana limitada por um quadrado de diagonais medindo n unidades. Para que \(T\) seja equivalente a \(Q\), é necessário

  1. \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2\sqrt{2}}{2}\)
  2. \(\frac{m^2\sqrt{2}}{4}=\frac{n^2\sqrt{3}}{2}\)
  3. \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2}{2}\)
  4. \(\frac{m^2\sqrt{3}}{4}=\frac{n^2}{4}\)
  5. \(m^2\sqrt{3}=n^2\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Área do triângulo equilátero: para lado \(m\), a área é \(T=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,m^{2}\).

Área do quadrado: se a diagonal mede \(n\), o lado vale \(s=\dfrac{n}{\sqrt{2}}\), logo a área é \(Q=s^{2}=\dfrac{n^{2}}{2}\).

Igualando as áreas: requer-se \(T=Q\), isto é \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,m^{2}=\dfrac{n^{2}}{2}\).

Portanto, para que as duas regiões sejam equivalentes, é necessária exatamente a igualdade \(\dfrac{m^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{n^{2}}{2}\), que exprime a condição entre \(m\) e \(n\).

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