Com razoável frequência, estudantes assumem que se x > y, então x2 > y2, para quaisquer números reais x e y. Tal implicação é necessariamente verdadeira apenas para quaisquer x e y

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é verdadeira exatamente para os números reais não negativos. Isso decorre do comportamento da função \(f(t)=t^2\) em \([0,\infty)\), onde ela é crescente.

Prova simples por fatoração: se \(x>y\) e \(x,y\ge 0\), então \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Aqui \(x-y>0\) e \(x+y\ge 0\). Como não é possível ter \(x+y=0\) quando \(x>y\), fica \(x+y>0\). Assim o produto \((x-y)(x+y)>0\), logo \(x^2>y^2\).

Portanto, para quaisquer \(x\) e \(y\) pertencentes aos reais não negativos, a implicação \(x>y\Rightarrow x^2>y^2\) é necessariamente verdadeira.