O resultado da expressão \(\sqrt{\pi}-1\) é um número

Gabarito

D

Comentário do professor

A expressão \( \sqrt{\pi}-1 \) é um número real porque \( \pi>0 \) e a raiz quadrada de um número positivo é real; portanto \( \sqrt{\pi} \in \mathbb{R} \) e sua subtração por 1 mantém-se em \( \mathbb{R} \).

\emph{Irracionalidade}: como \( \pi \) é irracional, se por acaso \( \sqrt{\pi} \) fosse racional então \( \pi=(\sqrt{\pi})^2 \) seria racional, contradição. Logo \( \sqrt{\pi} \) é irracional. Subtraindo 1 (número racional) de um irracional, o resultado permanece irracional: se \( x \) irracional e \( r \) racional, \( x-r \) não pode ser racional, pois então \( x=(x-r)+r \) seria racional, absurdo.

Quanto à desigualdade, como \( \pi<4 \) tem-se \( \sqrt{\pi}<2 \), logo \( \sqrt{\pi}-1<1 \). De fato \( 0<\sqrt{\pi}-1<1 \), portanto é menor que 1.