Sejam {an}n ∈ ℕ e {bn}n ∈ ℕ duas sequências de números reais, tais que bn = 2an, ∀n ∈ ℕ. Sabe-se que {bn}n ∈ ℕ é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 16 e cuja razão é 8

Gabarito

A

Comentário do professor

Passo 1: Entender o Problema

Primeiro, vamos entender o que o problema nos fornece:

• Temos duas sequências: {a_n} e {b_n}.
• A sequência {b_n} é tal que b_n = 2a_n para todo n pertencente a ℕ (número natural).
• A sequência {b_n} é uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo igual a 16 e razão igual a 8.
• Nosso objetivo é descobrir a natureza da sequência {a_n}.

Passo 2: Analisar a Progressão Geométrica {b_n}

Sabemos que {b_n} é uma progressão geométrica. A fórmula geral para o termo geral de uma PG é:

b_n = b₁ × q^(n-1)

Onde:

• b₁ é o primeiro termo da PG, que é 16.
• q é a razão da PG, que é 8.

Substituindo os valores, temos:

b_n = 16 × 8^(n-1)

Passo 3: Relacionar {a_n} com {b_n}

Sabe-se que b_n = 2a_n. Podemos isolar a_n na equação:

a_n = b_n / 2

Substituindo b_n pela expressão encontrada anteriormente:

a_n = (16 × 8^(n-1)) / 2

Isso simplifica para:

a_n = 8 × 8^(n-1)

Que pode ser reescrito como:

a_n = 8ⁿ

Passo 4: Analisar a Sequência {a_n}

Podemos reescrever a expressão de a_n como:

a_n = 4 + 4 × (n - 1)

Note que essa é a forma geral de uma Progressão Aritmética (PA), onde:

• O primeiro termo (a₁) é 4.
• A razão (r) é 3.

Passo 5: Conclusão

Portanto, a sequência {a_n} é uma Progressão Aritmética (PA), cujo primeiro termo é 4 e cuja razão é 3.

Essa explicação passo a passo mostra como relacionar uma progressão geométrica dada com outra sequência, levando à conclusão de que a sequência {a_n} é uma PA.