Em um triângulo retângulo \(ABC\), o ângulo \(A\hat{B}C\) mede 20º. O lado \(BC\) é prolongado até o ponto \(D\), de modo que \(C\) fique entre \(B\) e \(D\) e \(CD\) tenha a mesma

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como o triângulo \(ABC\) é retângulo e \(\widehat{ABC}=20^\circ\), o vértice \(A\) é o ângulo reto e, portanto, \(\widehat{ACB}=70^\circ\).

Prolongando \(BC\) até \(D\) com \(CD=AC\), o triângulo \(ACD\) é isósceles com lados iguais em \(C\). Como o segmento \(CD\) é a continuação de \(CB\), o ângulo no vértice \(C\) de \(ACD\) vale \(\widehat{ACD}=180^\circ-\widehat{ACB}=110^\circ\).

Logo, os ângulos da base são iguais: \(\widehat{DAC}=\widehat{CDA}=\dfrac{180^\circ-110^\circ}{2}=35^\circ\). Assim a tangente do ângulo pedido é \(\tan 35^\circ\).

Como a função \(\tan\) é crescente em \((0^\circ,90^\circ)\) e \(30^\circ<35^\circ<45^\circ\), segue \(\tan 30^\circ<\tan 35^\circ<\tan 45^\circ\), ou seja \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\tan 35^\circ<1\).