No retângulo ABCD tem-se AB = 6 e BC = 8. Os segmentos AP e CQ são perpendiculares à diagonal BD. O comprimento do segmento PQ é:

Gabarito

D

Comentário do professor

No retângulo ABCD temos AB=6 e BC=8, logo a diagonal \(BD\) é hipotenusa no triângulo retângulo \(ABD\). Pelo Teorema de Pitágoras: \(BD=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\).

Como \(AP\) é perpendicular a \(BD\), \(AP\) é a altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo \(ABD\). Vale a relação \(BD\cdot AP=AB\cdot AD\), portanto \(10\cdot AP=6\cdot 8\), de onde \(AP=48/10=4{,}8\).

No triângulo retângulo \(APB\): \(AB^2=AP^2+BP^2\). Assim \(BP=\sqrt{6^2-4{,}8^2}=\sqrt{36-23{,}04}=\sqrt{12{,}96}=3{,}6\). Pelo mesmo raciocínio em \(CDQ\), obtemos \(DQ=3{,}6\).

Finalmente, \(PQ\) é a porção de \(BD\) entre \(P\) e \(Q\): \(PQ=BD-(BP+DQ)=10-(3{,}6+3{,}6)=10-7{,}2=2{,}8\).