Na aula de matemática, determinado aluno está estudando propriedades dos logaritmos e a relação entre diferentes bases envolvendo o número irracional \(\pi.\) Durante a atividade,

Gabarito

D

Comentário do professor

Começamos pela mudança de base: \(a=\log_3\pi=\dfrac{\ln\pi}{\ln3}\) e \(b=\log_5\pi=\dfrac{\ln\pi}{\ln5}\). Assim,

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) pode ser reescrito como \(\dfrac{\ln3}{\ln\pi}+\dfrac{\ln5}{\ln\pi}\).

Fatorando \(\dfrac{1}{\ln\pi}\) obtemos \(\dfrac{\ln3+\ln5}{\ln\pi}=\dfrac{\ln15}{\ln\pi}\), já que \(\ln3+\ln5=\ln(3\cdot5)\).

Para comparar com 2, note que \(\dfrac{\ln15}{\ln\pi}>2\) é equivalente a \(\ln15>2\ln\pi=\ln(\pi^2)\), pela monotonicidade da função \(\ln\).

Como \(\pi^2\approx9{,}87\) e \(15>9{,}87\), segue \(\ln15>\ln(\pi^2)\). Portanto, \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{\ln15}{\ln\pi}>2\), confirmando a alternativa correta.