Determinada equipe de engenheiros da prefeitura de Duque de Caxias está estudando o comportamento de um índice mensal de qualidade ambiental em uma área urbanizada. Eles observaram

Gabarito

A

Comentário do professor

Os três primeiros termos são \( \sqrt{22-2a},\; -a,\; -a+1\). Por se tratar de progressão aritmética, a diferença entre termos consecutivos é constante.

Calcule a razão: \(r = (-a+1)-(-a)=1\). Também vale \(r = (-a)-\sqrt{22-2a}\), logo

\((-a)-\sqrt{22-2a}=1\) ⇒ \(\sqrt{22-2a}=-a-1\). Elevando ao quadrado: \(22-2a=(a+1)^2\).

Isso gera \(a^2+4a-21=0\). A equação tem raízes \(a=3\) e \(a=-7\). Como os termos são positivos e o segundo termo é \(-a\), escolhemos \(a=-7\), pois \(-a=7>0\).

Com \(r=1\) e segundo termo \(7\), a sequência segue \(7,8,9,10,\dots\). Portanto, o quinto termo vale \(10\).