Qual a quantidade de termos n da progressão aritmética finita da professora?

Gabarito

A

Comentário do professor

A professora informou que o primeiro termo é a₁ = 0 e que a soma dos 5 primeiros termos vale S₅ = 30. Pela fórmula da soma: \(S_5=\dfrac{(a_1+a_5)5}{2}\), temos \(30=\dfrac{(0+a_5)5}{2}\), logo \(a_5=12\).

Usando o termo geral \(a_n=a_1+(n-1)r\), obtemos \(12=0+4r\), portanto a razão é \(r=3\). Assim o último termo da PA com \(n\) termos é \(a_n=3n-3\).

Como a soma total é \(S_n=198\) e \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\), temos \(\dfrac{(0+3n-3)n}{2}=198\), ou \(3n^2-3n-396=0\). Simplificando: \(n^2-n-132=0\).

Resolvendo a quadrática: \(\Delta=529\), \(n=\dfrac{1\pm23}{2}\). A raiz positiva é \(n=\dfrac{24}{2}=12\). Portanto, a PA tem 12 termos.