Questão FC364402
Agnaldo, Bruno, Cláudia e Daniela são grandes amigos e programaram de fazer uma viagem de carro juntos partindo de Oiapoque-AP até Chuí-RS, a 5.500 quilômetros de distância. Para q
Progressão Aritmética
Instituto Consulplan · 2024
Agnaldo, Bruno, Cláudia e Daniela são grandes amigos e programaram de fazer uma viagem de carro juntos partindo de Oiapoque-AP até Chuí-RS, a 5.500 quilômetros de distância. Para que a viagem não ficasse cansativa, os amigos resolveram que iriam se alternar na direção do veículo. Agnaldo começaria dirigindo por 100 km, passaria a direção para Bruno, depois Cláudia e por último Daniela. Os amigos iriam se revezar sempre nessa mesma ordem quantas vezes fossem necessárias e o próximo motorista do ciclo sempre iria dirigir 20 km a mais do que o motorista anterior. Sendo assim, sabendo que Agnaldo foi o primeiro motorista a começar o percurso, quem será o motorista quando os amigos chegarem ao destino?
- Bruno.
- Cláudia.
- Daniela.
- Agnaldo.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
As distâncias dirigidas formam uma progressão aritmética com primeiro termo \(a_1=100\) km e razão \(r=20\) km, pois cada motorista percorre 20 km a mais que o anterior.
O termo geral é \(a_n = a_1+(n-1)r = 100 + 20(n-1) = 80 + 20n\).
A soma dos deslocamentos até o momento é \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\). Igualando a 5.500 km:
\(5500=\dfrac{(100+80+20n)n}{2}\) ⇒ \(11000=n(180+20n)\) ⇒ \(n^2+9n-550=0\).
O discriminante é \(\Delta=9^2+4\cdot550=2281\), cuja raiz está entre 47 e 48, logo a raiz positiva de \(n\) fica entre 19 e 19,5. Como \(n\) é inteiro e \(S_{19}=5320<5500\), o percurso alcança o destino no \(20^\circ\) trecho.
Os motoristas se revezam em ciclos de 4 (1=Agnaldo, 2=Bruno, 3=Cláudia, 4=Daniela). Como \(20\equiv0\pmod4\), o motorista do trecho 20 é a Daniela.
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