Questão FC364418
Em determinado processo de modelagem matemática está sendo analisado um padrão geométrico composto por uma infinidade de cubos, de lados medindo \(1,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sq
Progressão Geométrica
Instituto Consulplan · 2025
Em determinado processo de modelagem matemática está sendo analisado um padrão geométrico composto por uma infinidade de cubos, de lados medindo \(1,\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}^2}\frac{1}{\sqrt{3}^3},...,\) em centímetros. Esses cubos são organizados de tal forma que, à medida em que o processo avança, novos cubos são adicionados nessa sequência infinita, mantendo o mesmo padrão. Com base nessa configuração, é correto afirmar que a soma das diagonais de todos esses cubos, em cm, é igual a:
- \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
- \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\)
- \(\frac{\sqrt{3}-1}{3}\)
- \(\frac{3}{\sqrt{3}-1}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Os lados formam uma sequência \(1,\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3^2},\ldots\), ou seja, uma progressão geométrica com \(a_1=1\) e razão \(q=\frac{1}{\sqrt3}\).
A soma dos infinitos termos dessa PG é \(S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{1}{1-\tfrac{1}{\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3-1}\).
Sendo a diagonal de um cubo igual a \(\sqrt3\) vezes o lado, a soma das diagonais é \(\sqrt3\) vezes \(S\):\newline \(\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3-1}=\dfrac{3}{\sqrt3-1}.\)
Portanto, a expressão correta para a soma das diagonais é \(\dfrac{3}{\sqrt3-1}\).
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