Questão FC364461
Durante o desenvolvimento de um sistema de modelagem matemática, certo programador encontrou duas funções, \(g (x)\) e \(h (x),\) definidas, respectivamente, por: \(g(x) \, = \, e^
Funções e Inequações
Instituto Consulplan · 2024
Durante o desenvolvimento de um sistema de modelagem matemática, certo programador encontrou duas funções, \(g (x)\) e \(h (x),\) definidas, respectivamente, por:
\(g(x) \, = \, e^{x^2 + cx + d} \,\, e \,\, h (x) \, = \, In (\dfrac {cx} {3d})\)
em que \(c\) e \(d\) são números reais. O programador precisa analisar a função composta \(h \, \circ \, f,\) para verificar algumas propriedades que ela possa apresentar.
Sabendo-se que \(g(-1) \, = \, g(-2) \, = \, 1,\) sobre a função composta \(h \, \circ \, g,\) analise as afirmativas a seguir.
I. Está definida para todo \(x \, \in \, \mathbb{R}.\)
II. A função composta aplicada no ponto \(x \, = \, 1\) vale \(In \, 2.\)
III. Possui duas raízes reais distintas.
Está correto o que se afirma apenas em
- I.
- II.
- I e III.
- II e III.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Das condições \(g(-1)=g(-2)=1\) obtemos, pela definição \(g(x)=e^{x^2+cx+d}\), que os expoentes em \(-1\) e \(-2\) são zero. Resolviendo \(1-c+d=0\) e \(4-2c+d=0\) vem c=3 e d=2.
Assim, \(g(x)=e^{x^2+3x+2}\) e a composta é \( (h\circ g)(x)=\ln\!\big(\dfrac{c\,g(x)}{3d}\big)=\ln\!\big(\dfrac{3\,g(x)}{6}\big)=\ln\!\big(\dfrac{g(x)}{2}\big)\). Logo o argumento do logaritmo é \(\dfrac{g(x)}{2}>0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), pois \(g(x)=e^{\cdots}>0\). Portanto o domínio é \(\mathbb{R}\), confirmando a afirmativa I.
Para as raízes, resolvemos \(\ln\!\big(\dfrac{g(x)}{2}\big)=0\Rightarrow g(x)=2\Rightarrow x^2+3x+2=\ln 2\). O polinômio quadrático \(x^2+3x+(2-\ln2)\) tem discriminante \(\Delta=1+4\ln2>0\), daí existem duas raízes reais distintas, confirmando a afirmativa III.
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