Considerando que uma quadrada \(\begin{bmatrix} k & { \large 1 \over 3} \\ -3 & -{ \large 1 \over 2} \end{bmatrix}\) cujo determinante é igual à raiz positiva da equação \(x^2 + 5x

Gabarito

A

Comentário do professor

Primeiro identifique a raiz positiva da equação \(x^2+5x-14=0\). Pelas relações entre coeficientes, as raízes são \(2\) e \(-7\), portanto a raiz positiva é \(2\).

O enunciado afirma que o determinante da matriz vale essa raiz positiva, logo devemos ter det = \(2\).

Calcule o determinante da matriz \( \begin{bmatrix} k & \tfrac{1}{3} \\ -3 & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \):

det = \(k\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)-(-3)\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{k}{2}+1\).

Impondo det = \(2\): \(-\tfrac{k}{2}+1=2\). Assim \(-\tfrac{k}{2}=1\), de onde \(k=-2\).

Portanto, \( \mathbf{k = -2} \) é o valor buscado.