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Questão FC364506

Uma empresa de tecnologia desenvolveu um software para resolver sistemas lineares que, em certas situações, podem ser impossíveis ou indeterminados. Para testar o software foi prop

Sistemas Lineares

Instituto Consulplan · 2024

Uma empresa de tecnologia desenvolveu um software para resolver sistemas lineares que, em certas situações, podem ser impossíveis ou indeterminados.

 

Para testar o software foi proposto o sistema linear AX = b, em que:

 

\(A \, = \, \begin {pmatrix} 2 \,\,\,\,\, -2 \,\,\,\,\, 3 \\ 4 \,\,\,\,\,\,\,\,\, k \,\,\,\,\,\,\,\,\, 6 \\ -2 \,\,\,\,\, 3 \,\,\,\,\, k - 3 \end {pmatrix}, \,\, X \, = \, \begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end {pmatrix}, \,\,\, b \, = \, \begin {pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end {pmatrix}, \,\,\, k \, \in \, \mathbb{R}\)

 

Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo \(S\) a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T + S é:

  1. –1.
  2. –2.
  3. –3.
  4. –4.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Calcule o determinante de \(A\): \(\det A=2k(k+4)\). Assim \(A\) é singular para \(k=0\) e \(k=-4\).

Para \(k=0\): o sistema reduz-se a \(2x_1-2x_2+3x_3=1,\;4x_1+6x_3=6,\;-2x_1+3x_2-3x_3=0\). Da segunda equação obtemos \(2x_1+3x_3=3\); substituindo, a terceira torna-se identidade \(0=0\), ficando \(x_3\) livre. Logo há infinitas soluções — o sistema é possível e indeterminado.

Para \(k=-4\): as duas primeiras equações são proporcionais nos coeficientes (a segunda é \(2\) vezes a primeira), mas nos termos independentes temos \(6\neq 2\cdot1\), gerando contradição. Portanto o sistema é impossível.

Somando os valores: T (impossível) = \(-4\), S (indeterminado) = \(0\). Assim, T+S = -4.

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