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Questão FC364525

Em uma obra de arte pública, o arquiteto decidiu construir um triângulo em um mural na praça central da cidade. Ele projetou um triângulo \(ABC\) em que os lados \(\overline {AB},

Geometria Plana

Instituto Consulplan · 2024

Em uma obra de arte pública, o arquiteto decidiu construir um triângulo em um mural na praça central da cidade. Ele projetou um triângulo \(ABC\) em que os lados \(\overline {AB}, \overline {AC} \,\, e \,\, \overline {BC}\) medem 3 cm, 4 cm e 5 cm, respectivamente. Para adicionar mais detalhes à obra, ele considerou que dois pontos, \(M\) e \(N,\) estariam sobre o lado\(\overline {BC}\) de forma que\(\overline {AM}\) seja a altura relativa ao lado\(\overline {BC},\) enquanto o ponto \(n\) é o ponto médio de\(\overline {BC}.\)

 

Tendo em vista essas informações, a área do triângulo \(AMN,\) em cm2, é:

  1. 0,84.
  2. 0,90.
  3. 1,05.
  4. 1,12.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Observando que \(3^2+4^2=5^2\), o triângulo é retângulo em A. Colocamos A(0,0), B(3,0) e C(0,4) para facilitar.

A reta BC tem equação \(4x+3y-12=0\). O pé da perpendicular de A sobre BC (ponto M) é dado por projeção e resulta em \(M=(48/25,36/25)\). O ponto médio N de BC é \(N=(3/2,2)\).

A área do triângulo AMN é \(\tfrac{1}{2}\big|x_M y_N - x_N y_M\big|\). Substituindo, \(\tfrac{1}{2}\big|\tfrac{48}{25}\cdot2 - \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{36}{25}\big|=\tfrac{21}{25}=0{,}84\).

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