Questão FC364528
Ao final do teste, as duas câmeras conseguiram captar somente imagens de parte do muro, sendo LA e LB os comprimentos do muro captados pelas câmeras A e B, respectivamente. Conside
Geometria Plana
Instituto Consulplan · 2024
Abel está em dúvida sobre qual modelo de câmera de segurança usar em sua residência. Após procurar todas as opções disponíveis no mercado ele encontrou dois modelos que atendem à sua demanda:
| Câmera |
Ângulo de visão |
| A | 60° |
| B | 90º |
Ao analisar as duas opções, ele constatou que se escolher a câmera B irá perder alguns detalhes de imagem, mas poderá registrar em vídeo uma área maior. Assim, para testar as câmeras, Abel apontou, de uma mesma distância, as duas câmeras perpendicularmente a um muro extenso, conforme ilustração a seguir:
Ao final do teste, as duas câmeras conseguiram captar somente imagens de parte do muro, sendo LA e LB os comprimentos do muro captados pelas câmeras A e B, respectivamente. Considerando esta situação, quanto vale a razão \(\dfrac{L_B}{L_A}\)?
- \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
- \(\sqrt{3}\)
- \(2\sqrt{3}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Coloque a câmera a uma mesma distância \(d\) do muro. Cada campo de visão gera um triângulo com vértice na câmera; para calcular os comprimentos captados usamos a metade do ângulo.
Para a câmera A (ângulo total \(60^\circ\)), a metade é \(30^\circ\). Pela tangente: \(\tan 30^\circ=\dfrac{L_A/2}{d}\). Como \(\tan30^\circ=\tfrac{1}{\sqrt3}\), temos \( \dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{L_A}{2d}\), logo \(L_A=\dfrac{2d}{\sqrt3}\).
Para a câmera B (ângulo total \(90^\circ\)), a metade é \(45^\circ\). Como \(\tan45^\circ=1\), \(\dfrac{L_B/2}{d}=1\), então \(L_B=2d\).
Portanto a razão é \(\dfrac{L_B}{L_A}=\dfrac{2d}{2d/\sqrt3}=\sqrt3\).
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