Questão FC364529
A treliça é uma estrutura metálica usada para fornecer resistência e apoio para as estruturas de uma obra. As treliças apresentam formas triangulares, para que se obtenha na obra o
Geometria Plana
Instituto Consulplan · 2024
A treliça é uma estrutura metálica usada para fornecer resistência e apoio para as estruturas de uma obra. As treliças apresentam formas triangulares, para que se obtenha na obra o melhor custo-benefício. O esquema a seguir constitui um exemplo de uma treliça simples:
Sobre as medidas dadas na treliça, sabe-se que: \(\overline {AB} = 12 \ m\), os segmentos \(\overline {BE}\) e \(\overline {CD}\) formam um ângulo de 90° com o segmento \(\overline {AD}\) e a treliça é simétrica horizontalmente ao eixo \(\overline {CD}\). Um serralheiro deseja construir a estrutura acima em aço, que é vendido somente em comprimentos cujo total seja um número inteiro. Para construir a estrutura, a menor quantidade de aço que ele precisará comprar é:
- 75 m.
- 112 m.
- 138 m.
- 150 m.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
No triângulo retângulo ABE, aplicando seno e cosseno de \(30^\circ\) obtemos: \(\sin30^\circ=\dfrac{BE}{12}\Rightarrow BE=6\) e \(\cos30^\circ=\dfrac{AE}{12}\Rightarrow AE=6\sqrt3\).
Pelo critério ângulo‑lado‑ângulo, o triângulo BED é congruente a ABE, logo \(ED=6\sqrt3\) e \(BD=12\). Assim \(AD=AE+ED=12\sqrt3\).
Usando \(\tan30^\circ=\dfrac{CD}{AD}\) temos \(\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{CD}{12\sqrt3}\Rightarrow CD=12\). Com \(\sin30^\circ=\dfrac{CD}{AC}\) vem \(AC=24\).
Contando todos os vãos pela simetria, o total de aço é \(2(24+12+6+12\sqrt3)+12=96+24\sqrt3\approx137{,}52\) metros. Como o aço é vendido em inteiro, será necessário comprar 138 m.
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