Se a maior diagonal deste octógono é d, quanto vale a área que sobrou da caixa (representada na figura pelo sombreado), após a retirada do quadrado?

Gabarito

B

Comentário do professor

O octógono regular pode ser dividido em 8 triângulos isósceles com ângulo central \(45^\circ\) e lados iguais \(d/2\) (pois \(d\) é a maior diagonal).

Área de um triângulo: \(A_{tri}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{d}{2}\cdot\dfrac{d}{2}\sin45^\circ=\dfrac{d^2\sqrt2}{16}\).
Logo, área do octógono: \(8\cdot A_{tri}=\dfrac{d^2\sqrt2}{2}\).

Para o quadrado cortado, a diagonal mede \(d\), então o lado é \(l=\dfrac{d}{\sqrt2}\) e sua área é \(A_{q}=\left(\dfrac{d}{\sqrt2}\right)^2=\dfrac{d^2}{2}\).

A área sombreada é a diferença entre as duas áreas: \(\dfrac{d^2\sqrt2}{2}-\dfrac{d^2}{2}=\dfrac{d^2}{2}(\sqrt2-1)\), que é o valor pedido.