Mateus utiliza em sua residência uma caixa d'água cilíndrica com 500 litros de volume total. No entanto, constantemente há falta d'água em seu bairro. Assim, ele decidiu substituir

Gabarito

A

Comentário do professor

O volume de um cilindro é dado por \(V=\pi r^2 h\). Para a caixa antiga com raio \(r\) e altura \(h\) temos \(500=\pi r^2 h\).

Para a nova caixa, o volume é o dobro (\(1000\)) e a altura é \(1{,}5h\). Com raio \(R\): \(1000=\pi R^2\cdot1{,}5h\).

Substituindo \(\pi h=\dfrac{500}{r^2}\) na equação da nova caixa: \(1000=\dfrac{500}{r^2}\cdot R^2\cdot1{,}5\).

Isso leva a \(2=1{,}5\cdot\dfrac{R^2}{r^2}\), logo \(\dfrac{R^2}{r^2}=\dfrac{4}{3}\) e portanto \(\dfrac{r^2}{R^2}=\dfrac{3}{4}\), ou \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Como \(r=\dfrac{d_1}{2}\) e \(R=\dfrac{d_2}{2}\), segue a relação entre diâmetros: \(d_1=\dfrac{\sqrt3}{2}\,d_2\), que é o resultado buscado.