Considerando no sistema cartesiano os pontos A = (4, 0), B = (0, 2) e C = (4, 10) são vértices de um triângulo inscrito na base desse reservatório, qual o volume do reservatório em

Gabarito

A

Comentário do professor

Para determinar o volume da semiesfera usamos a circunferência que passa por A(4,0), B(0,2) e C(4,10). Como A e C têm mesma abscissa, o segmento AC é vertical e sua mediatriz é a reta horizontal \(y=5\) (mediana em \((4,5)\)).

A mediatriz de AB passa pelo ponto médio \((2,1)\) e tem coeficiente angular \(2\), pois a reta AB tem coeficiente \(-\tfrac12\). Sua equação é \(y=2x-3\). Intersecando com \(y=5\) obtemos o centro da circunferência: \((4,5)\).

O raio é a distância do centro a A: \(r=\sqrt{(4-4)^2+(5-0)^2}=5\). Como o reservatório é uma semiesfera, o volume é dado por \(V=\tfrac{2}{3}\pi r^3\). Substituindo \(r=5\):

\(V=\tfrac{2}{3}\pi\cdot5^3=\tfrac{2}{3}\pi\cdot125=\tfrac{250}{3}\pi.\)