Questão FC364669
Qual é o volume desse tronco de pirâmide?
Geometria Espacial
Instituto Consulplan · 2024
Durante uma expedição arqueológica, uma equipe de pesquisadores encontrou um artefato curioso: uma peça de pedra esculpida em formato de tronco de pirâmide regular, que parecia ser parte de um monumento antigo. Após medições cuidadosas, descobriram que o artefato tinha 10 vértices, uma altura de 3 cm e que a soma dos perímetros das bases era de 30 cm. Além disso, calcularam que a soma das áreas das bases era \(25 \sqrt {3} \, cm^2.\)
Qual é o volume desse tronco de pirâmide?
- \(18 \sqrt {3}.\)
- \(35 \sqrt {3}.\)
- \(36 \sqrt {2}.\)
- \(\dfrac {35 \sqrt {3}} {3}.\)
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Gabarito
B
Comentário do professor
Ao observar que o tronco tem **10 vértices**, concluímos que as bases são polígonos regulares de 5 lados (pentágonos).
Usamos a **fórmula do volume** do tronco de pirâmide: \(V=\dfrac{h}{3}\big(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\big)\). Com \(h=3\) isso simplifica para \(V=A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\).
Como as bases são regulares e semelhantes, vale a **proporcionalidade** \(A_i=kP_i^2\) (mesmo \(k\) para as duas bases). Com \(P_1+P_2=30\) e \(A_1+A_2=25\sqrt3\) obtemos, por manipulação algébrica, \(\sqrt{A_1A_2}=10\sqrt3\).
Assim \(V=25\sqrt3+10\sqrt3=35\sqrt3\), isto é, **\(35\sqrt3\)** cm³.
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