Questão FC365239
Um curso preparatório para vestibulares possui 3 turmas. Para comemorar o início das aulas de 2024, todos os alunos de cada turma receberam fitas coloridas com os seguintes tamanho
Conjuntos
Instituto Consulplan · 2024
Um curso preparatório para vestibulares possui 3 turmas. Para comemorar o início das aulas de 2024, todos os alunos de cada turma receberam fitas coloridas com os seguintes tamanhos:
| Turma |
Número de Alunos | Tamanho das Fitas |
| A | 18 | 54 cm |
| B | 20 | 81 cm |
| C | 17 | 108 cm |
Durante a primeira aula de matemática, o professor reuniu os alunos em uma única sala e pediu que eles cortassem suas fitas em um tamanho idêntico, de modo que não fiquem sobras e que se obtenha o maior número possível de fitas. De acordo com as instruções do professor, o número de fitas que os alunos desse curso preparatório obterão ao final do processo está compreendido entre:
- 130 e 140 fitas.
- 141 e 150 fitas.
- 151 e 160 fitas.
- 161 e 170 fitas.
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Gabarito
D
Comentário do professor
É preciso cortar as fitas no maior tamanho possível que seja divisor de todos os comprimentos, isto é, o MDC de \(54\), \(81\) e \(108\). Decompomos em primos: \(54=2\times3^3\), \(81=3^4\), \(108=2^2\times3^3\).
O MDC toma os fatores comuns com menor expoente: sobra \(3^3\). Logo o tamanho será \(27\) cm (ou seja, 27).
Cada fita rende \( \tfrac{54}{27}=2\), \( \tfrac{81}{27}=3\) e \( \tfrac{108}{27}=4\) pedaços, respectivamente. Multiplicando pelo número de alunos: \(18\times2=36\), \(20\times3=60\) e \(17\times4=68\).
Somando as produções obtém-se \(36+60+68=164\) fitas. Assim, o total está entre 161 e 170, confirmando a alternativa correta.
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