Calcular a soma de todos os divisores positivos de um número grande é um processo relevante no estudo da aritmética e da álgebra, especialmente para identificar padrões e generaliz

Gabarito

D

Comentário do professor

Os divisores positivos de \(5^{2024}\) são exatamente as potências \(5^k\) com \(k=0,1,\dots,2024\), pois 5 é primo e toda divisão inteira resulta numa potência de 5.

Portanto a soma procurada é uma série geométrica com primeiro termo 1 e razão 5: somamos \(\sum_{k=0}^{2024}5^k\).

Usando a fórmula da soma de uma série geométrica finita, \(\sum_{k=0}^{n}r^k=\dfrac{r^{n+1}-1}{r-1}\), com \(r=5\) e \(n=2024\), obtemos \(\dfrac{5^{2025}-1}{5-1}\).

Simplificando o denominador vem o resultado final: \(\dfrac{5^{2025}-1}{4}\), que é inteiro e coincide com a alternativa correta.