Questão FC365346
Os números são classificados e divididos em conjuntos numéricos dependendo das suas características. Dentre esses conjuntos numéricos temos os naturais \((\mathbb{N})\), inteiros \
Conjuntos
Instituto Consulplan · 2024
Os números são classificados e divididos em conjuntos numéricos dependendo das suas características. Dentre esses conjuntos numéricos temos os naturais \((\mathbb{N})\), inteiros \((\mathbb{Z})\), racionais \((\mathbb{Q})\), irracionais (I) e reais \((\mathbb{R})\). Dadas as afirmativas sobre operações feitas com os elementos dos conjuntos numéricos, assinale a verdadeira.
- A soma de dois números racionais quaisquer não pode resultar em um número inteiro.
- A divisão entre dois números naturais não nulos quaisquer sempre resultará em um número natural.
- A multiplicação entre dois números irracionais quaisquer sempre resultará em um número irracional.
- A soma entre um número racional não nulo qualquer e um número irracional qualquer sempre resultará em um número irracional.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Para mostrar que a soma de um racional não nulo com um irracional é sempre irracional, utilizamos a prova por contradição.
Seja \(r\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) e \(x\) irracional. Suponha, contrariamente, que \(r+x\in\mathbb{Q}\).
Como os racionais são fechados para soma e subtração, temos \(x=(r+x)-r\). A diferença entre dois números racionais seria racional, logo isso implicaria \(x\in\mathbb{Q}\), o que contradiz a hipótese de \(x\) ser irracional.
Portanto, a hipótese é falsa e segue que \(r+x\) deve ser irracional.
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