Questão FC365359
Quantas combinações distintas de senhas podem ser geradas com essas regras?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Consulplan · 2025
A SEMCONGER está desenvolvendo um sistema de geração de senhas numéricas únicas para autenticação de servidores. O objetivo é gerar números de seis dígitos utilizando exclusivamente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, com as seguintes condições:
\(\bullet\) Os dígitos 1 e 2 não podem ocupar posições adjacentes;
\(\bullet\) Os dígitos 3 e 4 devem estar sempre adjacentes.
Quantas combinações distintas de senhas podem ser geradas com essas regras?
- 144.
- 180.
- 240.
- 286.
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Gabarito
A
Comentário do professor
Começamos impondo que 3 e 4 estejam sempre adjacentes. Agrupamos 3 e 4 como um único bloco, ficando assim 5 “elementos” a permutar: o bloco (34) e os dígitos 1, 2, 5 e 6. O número de ordenações desses 5 elementos é \(5! = 120\).
Dentro do bloco, 3 e 4 podem trocar de ordem, multiplicando por \(2!\). Portanto, o total de senhas com 3 e 4 adjacentes é \(120\times 2! = 240\).
Agora contamos as disposições em que, além de 3 e 4 adjacentes, também 1 e 2 estão adjacentes. Formamos dois blocos: (34) e (12), mais os dígitos 5 e 6 — total de 4 elementos: \(4! = 24\). Multiplicamos pelas permutações internas de cada bloco: \(2!\times 2!\).
Assim, há \(24\times 2!\times 2! = 96\) senhas com ambos os pares adjacentes. Subtraindo do total com 3 e 4 juntos obtemos as senhas válidas (3 e 4 adjacentes e 1 e 2 não adjacentes): \(240-96=\)\144.
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