Questão FC365370
Para alteração do horário de início das atividades em determinada Câmara Municipal, uma votação foi instaurada para que uma comissão de 15 coordenadores decida se essa mudança ocor
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Consulplan · 2025
Para alteração do horário de início das atividades em determinada Câmara Municipal, uma votação foi instaurada para que uma comissão de 15 coordenadores decida se essa mudança ocorrerá. Sabe-se que a votação é obrigatória para todos membros da comissão e, para que seja aprovada, é necessário que, pelo menos, 60% dos votos sejam a favor da mudança. Considerando os critérios apresentados, qual a quantidade de maneiras distintas para que a mudança de horário realmente aconteça?
- 8.584.
- 9.494.
- 9.844.
- 9.949.
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Gabarito
D
Comentário do professor
A mudança exige pelo menos 60% dos 15 votos da comissão. Calculamos o mínimo necessário: \(60\%\) de 15 é \(0{,}6\times15=9\). Portanto a aprovação ocorre quando há de 9 até 15 votos a favor.
Para cada quantidade \(k\) de votos favoráveis, o número de maneiras de escolher esses eleitores é dado pela combinação \( \binom{15}{k} \). Assim somamos as possibilidades para \(k=9,10,\dots,15\):
\(\binom{15}{9}+\binom{15}{10}+\binom{15}{11}+\binom{15}{12}+\binom{15}{13}+\binom{15}{14}+\binom{15}{15}\)
Substituindo os valores: \(5005+3003+1365+455+105+15+1=\,\textbf{9.949}\). Logo, há 9.949 maneiras distintas de a mudança ser aprovada.
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