Questão FC365387
Na leitura de uma partitura, os compassos dividem a música em trechos com intervalos de tempo definidos com base em sons e pausas. Cada compasso tem uma duração que é dada por uma
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Instituto Consulplan · 2024
Na leitura de uma partitura, os compassos dividem a música em trechos com intervalos de tempo definidos com base em sons e pausas. Cada compasso tem uma duração que é dada por uma quantidade de tempos predefinidos e a quantidade de tempos de cada som é representada por símbolos, conforme descrito no quadro a seguir:
| Símbolo |
Nome | Duração |
 |
Semibreve |
4 tempos |
 |
Mínima | 2 tempos |
 |
Semínima | 1 tempos |
 |
Colcheia | \(\dfrac{1}{2}\) tempo |
Considere um programa que gere aleatoriamente uma música dividida em compassos que totalizam 4 tempos cada, composta apenas por sons, ou seja, não existem pausas. Assim, esse programa irá gerar composições conforme os exemplos a seguir, todos totalizando 4 tempos:
| Exemplo 1 |
 |
4 = 4 tempos |
| Exemplo 1 |
 |
2 + 2 = 4 tempos |
| Exemplo 2 |
 |
1 + 1 + 1 + 1 = 4 tempos |
| Exemplo 3 |
 |
1 + 1 + 2 = 4 tempos |
| Exemplo 4 |
 |
1 + 2 + 1 = 4 tempos |
| Exemplo 5 |
 |
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\)+ 1 + 2 = 4 tempos |
| Exemplo 6 |
 |
\(\dfrac{1}{2}\) + 1 + 2 +\(\dfrac{1}{2}\)= 4 tempos |
| ... |
... | ... |
Esse programa gerou todas as combinações possíveis dos símbolos anteriores que podem formar um compasso de 4 tempos, sendo que cada um dos compassos gerados tem uma configuração única, de modo a ser impossível encontrar dois compassos idênticos. Sendo assim, selecionando aleatoriamente um compasso desta música, a probabilidade de se encontrar nele pelo menos uma semínima está compreendida entre:
- 55% e 65%.
- 65% e 75%.
- 75% e 85%.
- 85% e 95%.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Convertemos as durações em meio-tempos: semibreve=8, mínima=4, semínima=2, colcheia=1; o compasso vale 8 (meio-tempos).
Seja \(a_n\) o número de sequências que somam \(n\) com partes \(1,2,4,8\). Tem-se a recorrência \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-4}+a_{n-8}\) e \(a_0=1\). Calculando até \(n=8\) obtém-se \(a_8=56\). Logo, há 56 compassos possíveis.
Agora conte os compassos sem semínima (proibindo a parte 2): partes \(1,4,8\). Com recorrência \(b_n=b_{n-1}+b_{n-4}+b_{n-8}\) e \(b_0=1\) chega-se a \(b_8=8\).
Assim, compassos com pelo menos uma semínima = \(56-8=48\). A probabilidade é \(\dfrac{48}{56}=\dfrac{6}{7}\approx85{,}71\%\), que se encontra entre 85% e 95%.
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