Em uma escola, 124 alunos participam de pelo menos uma das seguintes atividades extracurriculares: teatro, música e dança. Dentre esses alunos, 98 participam de teatro, 86 particip

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Sejam os conjuntos: \(A\) = teatro, \(B\) = música e \(C\) = dança, e \(n(A\cup B\cup C)=124\). Temos \(n(A)=98\), \(n(B)=86\), \(n(C)=88\).

Usamos a fórmula da inclusão-exclusão: \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-[n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C)]+n(A\cap B\cap C)\).

Para obter a **quantidade mínima** de alunos no encontro dos três, consideramos que as somas das interseções em pares sejam, no máximo, tão grandes quanto permitido. Rearranjando e tomando o menor valor possível para \(n(A\cap B\cap C)\), obtemos a desigualdade

\(n(A\cap B\cap C)\ge n(A)+n(B)+n(C)-2\cdot n(A\cup B\cup C).\)

Substituindo: \(n(A\cap B\cap C)\ge 98+86+88-2\cdot124=272-248=24\).

Logo, a **quantidade mínima** de alunos que participam das três atividades é 24.