Em uma escola, os alunos têm três opções de atividades extracurriculares: arte, música e esporte coletivo. Eles devem participar de, pelo menos, uma atividade. Dos 110 estudantes n

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Sejam os conjuntos M, E e A dos alunos que escolheram música, esporte e arte. Pela inclusão-exclusão para a união temos \(n(M\cup E\cup A)=n(M)+n(E)+n(A)-\big[n(M\cap E)+n(M\cap A)+n(E\cap A)\big]+n(M\cap E\cap A)\).

Denotando \(x=n(M\cap E\cap A)\) e \(S=n(M\cap E)+n(M\cap A)+n(E\cap A)\), a informação de que 35 alunos optaram por exatamente duas atividades implica \(S-3x=35\), pois cada aluno que faz as três aparece em todas as três intersecções pares.

Substituindo \(S=35+3x\) na fórmula da união com os totais \(55,60,40\) e \(110\): \(110=55+60+40-(35+3x)+x\).

Isso simplifica para \(110=120-2x\), portanto \(x=5\). Ou seja, 5 alunos escolheram as três atividades.